Subsections

正規分布,ガウス分布 normal distribution,gaussian distribution

典拠: Lange:Biostatistics.3ed [4, p.76] ,典拠: 統計入門 [24, p.142] ,典拠: LISP-STAT [17, p.173] ,典拠: Lisp-Statによる統計解析入門 [33, p.48]

概念
正規分布は、同じ道具を用いて同じ物理学的な対象物を繰り返し測定したときの値の分布であり、値の散布度は確率変動のみとなる。
平均と標準偏差によって記述できる。
- 標準正規分布
  - 標準正規分布の確率密度関数 probability density function, PDF
    
    $\displaystyle \phi (z) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \times exp(-\frac{z^2}{2})$ (11.1)
  - 標準正規分布の累積分布関数 cummulative density function, CDF
    
    $\displaystyle \Phi (z) = \int^z_{-\infty} \phi (t) dt$ (11.2)
プログラミング言語
- xlisp
  - NORMAL-CDF 標準正規分布の累積密度関数
    Args: (x) Returns the value of the standard normal distribution function at X. Vectorized.
  - NORMAL-DENS 標準正規分布の密度関数
    Args: (x) Returns the density at X of the standard normal distribution. Vectorized.
  - NORMAL-QUANT
    Args (p) Returns the P-th quantile of the standard normal distribution. Vectorized.
  - NORMAL-RAND
    Args: (n) Returns a list of N standard normal random numbers. Vectorized.
  - NORMAL2-RAND
    2変量正規乱数 n:発生される乱数の個数 rho:相関係数
- calc
  The `utpn(x,m,s)' function uses a normal (Gaussian) distribution with mean `m' and standard deviation `s'. It is the probability that such a normal-distributed random variable would exceed `x'.
- R言語
  hist(rnorm(1000, mean=0, sd=1))

χ2乗分布 chi-square distribution

典拠: 疫学 [44, p.234] ,典拠: 統計入門 [24, p.167] ,典拠: StatisticalMethodsInEpidemiology [9, p.10] ,典拠: 東大出版:統計学入門1版 [42, p.199]

概念
標準正規分布から独立に抽出したn個の標本を2乗したものの合計は、自由度nのχ2乗分布に従う。

t分布 t-distribution

典拠: Lange:Biostatistics.3ed [4, p.84,p.98] ,典拠: IntroductionToProbabilityAndStatistics [10, p.262] ,典拠: 統計入門 [24, p.168] ,典拠: 統計処理 [24, p.32] ,典拠: バイオサイエンスの統計学 [46, p.36]

概念
ガンマ関数 $\Gamma$ ,自由度 df としたとき、t分布の確率密度関数 f(x) は、

$\displaystyle f(x) = \frac{1}{\sqrt{df \pi}} \times \frac{\Gamma (\frac{df+1}{2})}{\Gamma (\frac{df}{2})} \times \frac{1}{(1+\frac{x^2}{df})^\frac{df+1}{2}}$ (11.3)

母集団の標準偏差が既知の場合
母集団の標準偏差 $\sigma$ を用いて標準化する。

$\displaystyle z = \frac{\overline{x} - \mu} {\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$ (11.4)

その値 z は、標準正規分布に従う。
母集団の標準偏差が未知の場合
標本集団の標準偏差 s を用いて標準化する。

$\displaystyle z = \frac{\overline{x} - \mu} {\frac{s}{\sqrt{n}}}$ (11.5)

その値 z は、自由度 n - 1 の t分布に従う。

F分布 F-distribution

典拠: 統計入門 [24, p.168] ,典拠: Lisp-Statによる統計解析入門 [33, p.70] ,典拠: IntroductionToProbabilityAndStatistics [10, p.345]

Log-normal distribution

概念
確率変数の自然対数が正規分布をとるものをいう。

分布の正規性 normality

Q-Q plots, quantile comparison plot

典拠: IntroductoryStatisticsR.1ed [13, p.64] ,典拠:

歪度 Skewness

典拠: PrinciplesPracticeSEM.1ed [11, p.82]

概念
分布の非対称性を表す一つの指標である。分布が左右対称であれば歪度は 0 となるが、歪度が 0 であるからといって逆は真ではない。

$\displaystyle Skewness = \frac{/sum (X - M)^3}{SD^3}$ (11.6)

尖度 Kurtosis

典拠: PrinciplesPracticeSEM.1ed [11, p.82] ,典拠: PrenticeHall:BiostatisticalAnalysis.4ed [18, p.68]

概念
分布の尖り具合を表す指標である。

$\displaystyle Kurtosis = \frac{/sum (X - M)^4}{SD^4}$ (11.7)

正規分布からの歪みを表す指標となる。目安として 8.0 から 20.0 以上をもって極めて Kurtosis が高いと判断する。

正規性の検定

種類
- シャピロ=ウィルク検定 Shapiro-Wilk test
- コルモゴロフ・スミルノフ検定 Kolmogorov-Smirnov test

シャピロ=ウィルク検定 Shapiro-Wilk test

典拠: 中澤:Rによる統計解析の基礎 [26, p.105]

Akimichi Tatsukawa
2005-11-19